Αναλυτική γεωμετρία για μαθητές Β΄λυκείου

Περιεχόμενα
ΠΡΟΛΟΓΟΣ 17
Ο σκοπός του σχολείου 17
Οι βασικές παιδαγωγικές αρχές της σύγχρονης Διδακτικής των Μαθηματικών 17
Ιστορικό Σημείωμα 18
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0Ο : ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΆΛΓΕΒΡΑ Α ΚΑΙ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 20
Ενότητα1η : Πραγματικοί αριθμοί 20
Θέμα1ο : Πράξεις – Ιδιότητες – Ταυτότητες 20
Θέμα2ο : Ρίζες 22
Θέμα3ο : η απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού 24
Θέμα4ο : Εξισώσεις 25
Θέμα5ο : Ανισώσεις 28
Ενότητα2η : Τριγωνομετρία 30
Θέμα1ο : Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Οξείας Γωνίας 30
Θέμα2ο : Το Ακτίνιο (rad) ως μονάδα μέτρησης γωνιών 30
Θέμα3ο : Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Βασικών Γωνιών 30
Θέμα4ο : Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Βασικών Γωνιών 30
Θέμα5ο : Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες 30
Θέμα6ο : Αναγωγή στο 1ο Τεταρτημόριο 31
Θέμα7ο : Τριγωνομετρικές Εξισώσεις 31
Θέμα8ο : Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Αθροίσματος και Διαφοράς Γωνιών 31
Θέμα8ο : Τριγωνομετρικοί Αριθμοί της Γωνίας 2α 31
Θέμα9ο : Τύποι Αποτετραγωνισμού 31
Ο ΜΑΘΗΤΗΣ ΠΟΥ ΕΧΕΙ ΜΕΛΕΤΗΣΕΙ ΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΣΕ ΘΕΣΗ: 33
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 34
Ενότητα1η : Εισαγωγή στα διανύσματα 34
Θέμα1ο : Ορισμοί 34
Θέμα2ο : Πράξεις με διανύσματα – Πρόσθεση διανυσμάτων 35
Θέμα3ο : Διάνυσμα θέσεως 37
Θέμα4ο : Μέτρο αθροίσματος διανυσμάτων 38
Ενότητα2η : Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα 38
Θέμα1ο : Η διανυσματική ισότητα εξασφαλίζει μια συνθήκη παραλληλίας 38
Θέμα2ο : Η διανυσματική ισότητα εξασφαλίζει μια συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων 39
Θέμα3ο : Διανυσματική ακτίνα μέσου τμήματος 39
Ενότητα3η : Σχεδιάζουμε τη λύση… 40
Θέμα1ο : Για την απόδειξη ισότητας δύο διανυσμάτων 40
Θέμα2ο : Για την απόδειξη παραλληλίας δύο μη μηδενικών διανυσμάτων 43
Θέμα3ο : Για την απόδειξη συγγραμμικότητας τριών σημείων. 46
Θέμα4ο : Για την απόδειξη ότι δύο διανύσματα δεν είναι παράλληλα 47
Θέμα5ο : Για την απόδειξη ταύτισης δύο σημείων. 48
Θέμα6ο : Για τον προσδιορισμό ενός σημείου Ρ που επαληθεύει γνωστή γραμμική εξίσωση. 49
Θέμα7ο : Για την απόδειξη μιας διανυσματικής σχέσης της μορφής 50
Θέμα8ο : Όταν μας ζητείται μια σχέση με μέτρα διανυσμάτων που περιέχει σημείο Μ του οποίου να βρούμε τον γ.τ 52
Θέμα9ο : Όταν μας ζητείται να αποδείξουμε ότι ένα διάνυσμα είναι γραμμικός συνδυασμός κάποιων άλλων διανυσμάτων 54
ΌΤΑΝ Η ΘΕΩΡΙΑ ΓΙΝΕΤΑΙ ΠΡΑΞΗ… 57
ΤΙ ΕΧΩ ΚΑΤΑΛΑΒΕΙ; ΕΦΑΡΜΟΖΩ… 71
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 79
Ενότητα1η : Αλγεβρική αποτύπωση διανυσμάτων -Αντιστοιχία με ένα μοναδικό σημείο στο επίπεδο 79
Θέμα1ο : εισαγωγή 79
Θέμα2ο : Ισότητα διανύσματων με συντεταγμένες 80
Θέμα3ο : Συντεταγμένες γραμμικού συνδυασμού διανυσμάτων 80
Θέμα4ο : Συντεταγμένες μέσου τμήματος 80
Θέμα5ο : Συντεταγμένες διανύσματος με γνωστά ακρά 80
Θέμα6ο : Μέτρο διανύσματος / Απόσταση δύο σημείων 81
Θέμα7ο : Συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων 81
Θέμα8ο : Συντελεστής διεύθυνση διανύσματος 81
Ενότητα2η : Σχεδιάζουμε τη λύση… 82
Θέμα1ο : Συντελεστής διεύθυνση διανύσματος και συνθήκη παραλληλίας 82
ΌΤΑΝ Η ΘΕΩΡΙΑ ΓΙΝΕΤΑΙ ΠΡΑΞΗ… 83
ΤΙ ΕΧΩ ΚΑΤΑΛΑΒΕΙ; ΕΦΑΡΜΟΖΩ… 93
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3Ο : ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 98
Ενότητα1η : Ορισμός – Ιδιότητες εσωτερικού γινομένου 98
Θέμα1ο : εισαγωγή 98
Θέμα2ο : Ορισμός εσωτερικού γινομένου 98
Θέμα3ο : Ιδιότητες εσωτερικού γινομένου 98
Ενότητα2η : Αναλυτική Έκφραση εσωτερικού γινομένου – Συνημίτονο γωνίας δύο διανυσμάτων 99
Θέμα1ο : Ιδιότητες εσωτερικού γινομένου – Συνημίτονο γωνίας δύο διανυσμάτων 99
Ενότητα3η : Προβολή διανύσματος σε διάνυσμα 99
Θέμα1ο : Προβολή διανύσματος σε διάνυσμα 99
Ενότητα4η : Σχεδιάζουμε τη λύση… 101
Θέμα1ο : Υπολογιστικές ασκήσεις 101
Θέμα2ο : Για να αποδείξουμε την καθετότητα δύο μη μηδενικών διανυσμάτων 102
Θέμα3ο : Για τον υπολογισμό μέτρου διανύσματος 106
Θέμα4ο : Για τον υπολογισμό ζεύγους μη μηδενικών διανυσμάτων 109
Θέμα5ο : Για να βρούμε την προβολή διανύσματος σε διάνυσμα ή να αναλύσουμε ένα διάνυσμα σε κάθετες συνιστώσες 111
Θέμα6ο : Αποδεικτικές ασκήσεις με εσωτερικό γινόμενο. 114
ΌΤΑΝ Η ΘΕΩΡΙΑ ΓΙΝΕΤΑΙ ΠΡΑΞΗ… 116
ΤΙ ΕΧΩ ΚΑΤΑΛΑΒΕΙ; ΕΦΑΡΜΟΖΩ… 137
Ο ΜΑΘΗΤΗΣ ΠΟΥ ΕΧΕΙ ΜΕΛΕΤΗΣΕΙ ΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΣΕ ΘΕΣΗ: 148
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4Ο : ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 150
Ενότητα1η : Εξίσωση γραμμής – Ορισμοί 150
Θέμα1ο : Εξίσωση γραμμής σε εξίσωση ευθείας 150
Θέμα2ο : Συντελεστής διεύθυνσης – Ένας δείκτης για τη σχετική θέση της ευθείας με τον χχ΄ 150
Θέμα3ο : Συνθήκη παραλληλίας και καθετότητας ευθειών 151
Θέμα4ο : Εξίσωση ευθείας διέρχεται από γνωστό σημείο και έχει γνωστό συντελεστή λ. 151
Θέμα5ο : Βασικές μορφές ευθειών 151
Θέμα6ο : Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο γνωστά σημεία 151
Ενότητα1η : Σχεδιάζουμε τη λύση… 152
Θέμα1ο : Όταν μας ζητείται να βρούμε την εξίσωση μίας ευθείας που θα διέρχεται από το σημείο (x0,y0) και έχει συντελεστή διεύθυνσης τον λ. 152
Θέμα2ο : Όταν μας ζητείται να βρούμε το συμμετρικό ενός σημείου Α ως προς μια άλλη ευθεία (ε) 156
Θέμα3ο : Όταν μας ζητείται να αποδείξουμε ότι τρία σημεία είναι συνευθειακά 162
Θέμα4ο : Όταν μας ζητείται να βρούμε τα δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου 162
ΌΤΑΝ Η ΘΕΩΡΙΑ ΓΙΝΕΤΑΙ ΠΡΑΞΗ… 165
ΤΙ ΕΧΩ ΚΑΤΑΛΑΒΕΙ; ΕΦΑΡΜΟΖΩ… 179
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5Ο : ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 183
Ενότητα1η : Ορισμοί 183
Θέμα1ο : Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας 183
Θέμα2ο : Διανύσματα παράλληλα ή κάθετα στην ευθεία ε : Ax+By+Γ=0 183
Θέμα3ο : Οξεία γωνία δύο ευθειών 183
Ενότητα2η : Σχεδιάζουμε τη λύση… 184
Θέμα1ο : Όταν μας ζητείται να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο (x0,y0) και έχει συντελεστή διεύθυνσης τον λ. 184
Θέμα2ο : Εύρεση σημείου τομής δύο ευθειών. 185
Θέμα3ο : Όταν μας ζητείται να βρούμε τη σχετική θέση τριών ευθειών 187
Θέμα4ο : Επίλυση παραμετρικού συστήματος 2χ2 (διερεύνηση συστήματος) 188
Θέμα5ο : Όταν μας ζητείται να αποδείξουμε ότι μία εξίσωση παριστάνει εξίσωση ευθείας καθώς και να βρούμε ένα σημείο όπου διέρχονται όλες αυτές. Οικογένεια ευθειών 190
Θέμα6ο : Όταν μας ζητείται να βρούμε την οξεία γωνία που σχηματίζουν δύο ευθείες ε1,ε2. 193
Θέμα7ο : Όταν μας ζητείται να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση παριστάνει ζεύγος ευθειών – Εξισώσεις της μορφής . 195
Θέμα8ο : Όταν μας ζητείται να βρούμε τον γ.τ των σημείων Μ(x,y) που έχουν κάποια ιδιότητα. 198
ΤΙ ΕΧΩ ΚΑΤΑΛΑΒΕΙ; ΕΦΑΡΜΟΖΩ… 202
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6Ο : ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ 207
Ενότητα1η : Απόσταση σημείου από ευθεία – Εμβαδόν τριγώνου 207
Θέμα1ο : Ορισμοί 207
Ενότητα2η : Σχεδιάζουμε τη λύση… 207
Θέμα1ο : Όταν μας ζητείται να υπολογίσουμε την απόσταση ενός σημείου από μια ευθεία 207
Θέμα2ο : Όταν μας ζητείται να υπολογίσουμε την απόσταση μεταξύ δύο παραλλήλων 210
Θέμα3ο : Όταν μας ζητείται να βρούμε συμμετρικό σημείου Κ(χ, ψ) ως προς ευθεία ε : Αχ + Βψ + Γ = 0. 211
Θέμα4ο : Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια ευθεία περνά από σταθερό σημείο 212
Θέμα5ο : Όταν μας ζητούν τη μεσοπαράλληλη δύο παραλλήλων 214
Θέμα6ο : Όταν μας ζητούν την εξίσωση της διχοτόμου μιας γωνίας 216
ΌΤΑΝ Η ΘΕΩΡΙΑ ΓΙΝΕΤΑΙ ΠΡΑΞΗ… 218
ΤΙ ΕΧΩ ΚΑΤΑΛΑΒΕΙ; ΕΦΑΡΜΟΖΩ… 234
Ο ΜΑΘΗΤΗΣ ΠΟΥ ΕΧΕΙ ΜΕΛΕΤΗΣΕΙ ΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΩΝ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΣΕ ΘΕΣΗ: 249
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7Ο : ΕΝΑΣ ΔΙΑΣΗΜΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΟΠΟΣ ΚΥΚΛΟΣ 251
Ενότητα1η : Ο Κύκλος ως σύμβολο 251
Θέμα1ο : εισαγωγή 251
Ενότητα2η : Ο Κύκλος ως γ.τ 252
Θέμα1ο : Εξίσωση Κύκλου με κέντρο το Ο(0,0) 252
Θέμα2ο : Εφαπτομένη Κύκλου με κέντρο το Ο(0,0) 252
Θέμα3ο : Εξίσωση Κύκλου με κέντρο οποιοδήποτε σημείο του επιπεδου – Μορφή . 253
Θέμα4ο : Εξίσωση Κύκλου της μορφής 254
Θέμα5ο : Εφαπτομένη Κύκλου της μορφής 254
Ενότητα3η : Σχεδιάζουμε τη λύση… 255
Θέμα1ο : Όταν μας ζητείται να αποδείξουμε ότι μια παραμετρική εξίσωση της μορφής παριστάνει κύκλο 255
Θέμα2ο : Όταν μας ζητείται να βρούμε την εξίσωση του κύκλου που ικανοποιεί κάποιες συνθήκες 257
Θέμα3ο : Όταν μας ζητείται να βρούμε την εξίσωση ή το μήκος μιας χορδής ΑΒ κύκλου (Κ,ρ) με δεδομένο το μέσο της Μ 260
Θέμα4ο : Όταν μας ζητείται να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου κέντρου , και σημείο – Όταν μας ζητείται να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου κέντρου Ο(0,0) , και σημείο . 262
Θέμα5ο : Όταν μας ζητείται το κέντρο του κύκλου και μας δίνονται δύο μη παράλληλες χορδές του 265
Θέμα6ο : Σχετική θέση ευθείας – κύκλου 267
Θέμα7ο : Kύκλος που εφάπτεται στον άξονα χχ΄ ή στον yy΄. 269
Θέμα8ο : Σχετική θέση δύο κύκλων 271
Θέμα9ο : Εύρεση γεωμετρικών τόπων 274
Θέμα10ο : Όταν μας ζητείται οι κοινές εφαπτόμενες δύο κύκλων 276
Θέμα11ο : Οικογένειες κύκλων που διέρχονται από ένα σταθερό σημείο. 280
Θέμα12ο : Οικογένειες κύκλων που διέρχονται από δύο σταθερά σημεία. 281
Θέμα13ο : Οικογένειες κύκλων που τα κέντρα τους βρίσκονται σε κύκλο 283
Θέμα14ο : Πολική ευθεία ενός σημείου ως προς κύκλο. 284
Θέμα15ο : Μέγιστες και ελάχιστες αποστάσεις 286
ΌΤΑΝ Η ΘΕΩΡΙΑ ΓΙΝΕΤΑΙ ΠΡΑΞΗ… 291
ΤΙ ΕΧΩ ΚΑΤΑΛΑΒΕΙ; ΕΦΑΡΜΟΖΩ… 317
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ 327
Ενότητα1η : Η διαδρομή των κωνικών τομών από γ.τ και η σύνδεση τους με μια δευτεροβάθμια εξίσωση 327
Θέμα1ο : Ορισμός Κωνικής τομής 327
Θέμα2ο : Εφαρμογές κωνικών τομών 329
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9Ο : ΠΑΡΑΒΟΛΗ 334
Ενότητα1η : Η παραβολή από γ.τ σε Αλγεβρική εξίσωση β βαθμού 334
Θέμα1ο : Εισαγωγή 334
Θέμα2ο : Ορισμός παραβολής 334
Θέμα3ο : Εξίσωση Παραβολής 335
Ενότητα2η : Ιδιότητες της Εστίας της παραβολής 336
Θέμα1ο : Ανακλαστική ιδιότητα Παραβολή 336
Θέμα2ο : Γεωμετρικές Ιδιότητες Παραβολής 336
Ενότητα2η : Σχεδιάζουμε τη λύση… 338
Θέμα1ο : Όταν μας ζητείται να βρούμε την εξίσωση της παραβολής 338
Θέμα2ο : Όταν μας ζητείται να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής . 339
Θέμα3ο : Όταν μας ζητείται να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής εκτός παραβολής 343
Θέμα4ο : Όταν μας ζητείται να βρούμε τις κοινές εφαπτομένες κύκλου και παραβολής 344
Θέμα5ο : Όταν μας ζητείται να βρούμε την εξίσωση της χορδής της παραβολής με δεδομένο το μέσο της 345
Θέμα6ο : Όταν μας ζητείται να βρούμε τον γ.τ των σημείων του επιπέδου που ικανοποιούν μια ιδιότητα 346
Θέμα7ο : Πολική ευθεία ενός σημείου ως προς παραβολή 348
Θέμα8ο : Σχετική θέση ευθείας – παραβολής 349
ΌΤΑΝ Η ΘΕΩΡΙΑ ΓΙΝΕΤΑΙ ΠΡΑΞΗ… 350
ΤΙ ΕΧΩ ΚΑΤΑΛΑΒΕΙ; ΕΦΑΡΜΟΖΩ… 372
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10Ο : ΈΛΛΕΙΨΗ 380
Ενότητα1η : Η έλλειψη από γ.τ σε Αλγεβρική εξίσωση β βαθμού 380
Θέμα1ο : εισαγωγή 380
Θέμα2ο : Η έλλειψη ως γ.τ 380
Θέμα3ο : Εξίσωση Έλλειψης 380
Θέμα4ο : Εκκεντρότητα έλλειψης 381
Θέμα5ο : Σχέση Εκκεντρότητας με τα μήκη των αξόνων 381
Θέμα5ο : Εφαπτομένη Έλλειψης 382
Θέμα6ο : Ιδιότητα Εστιών Έλλειψης 382
Ενότητα2η : Σχεδιάζουμε τη λύση… 385
ΌΤΑΝ Η ΘΕΩΡΙΑ ΓΙΝΕΤΑΙ ΠΡΑΞΗ… 397
ΤΙ ΕΧΩ ΚΑΤΑΛΑΒΕΙ; ΕΦΑΡΜΟΖΩ… 416
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11Ο : ΥΠΕΡΒΟΛΗ 421
Ενότητα1η : Η Υπερβολή από γ.τ , μια αλγεβρική εξίσωση β βαθμού 421
Θέμα1ο : Η υπερβολή ως γ.τ 421
Θέμα2ο : Εξίσωση υπερβολής 421
Θέμα3ο : Ασύμπτωτες Υπερβολής 421
Ενότητα2η : Εκκεντρότητα υπερβολής 422
Θέμα1ο : Ορισμός 422
Θέμα2ο : Σχέση εκκεντρότητας με τα μήκη των αξόνων 422
Ενότητα3η : Eφαπτομένη και ιδιότητες υπρβολής 423
Θέμα1ο : Εφαπτομένη υπερβολής 423
Θέμα2ο : Ιδιότητες υπερβολής – Ανακλαστική ιδιότητα 425
Ενότητα4η : Σχεδιάζουμε τη λύση… 427
ΌΤΑΝ Η ΘΕΩΡΙΑ ΓΙΝΕΤΑΙ ΠΡΑΞΗ… 433
ΤΙ ΕΧΩ ΚΑΤΑΛΑΒΕΙ; ΕΦΑΡΜΟΖΩ… 452
ΌΤΑΝ Η ΘΕΩΡΙΑ ΓΙΝΕΤΑΙ ΠΡΑΞΗ…ΑΝΑΚΑΤΕΥΟΝΤΑΣ ΟΛΗ ΤΗΝ ΎΛΗ ! 466
ΤΙ ΕΧΩ ΚΑΤΑΛΑΒΕΙ; ΕΦΑΡΜΟΖΩ… ΑΝΑΚΑΤΕΥΟΝΤΑΣ ΟΛΗ ΤΗΝ ΎΛΗ ! 500
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 505