Πιθανότητες και Στατιστική

Στο βιβλίο αυτό, αν και εισαγωγικό, ορίζονται με αυστηρά μαθηματικά (χρήση θεωρίας μέτρου) οι περισσότερες από τις έννοιες που συναντά κανείς στην Θ.Π., όπως επίσης αποδεικνύονται αναλυτικά (ή δίνονται αναφορές για την απόδειξής τους) θεωρήματα και προτάσεις που σχετίζονται με τις έννοιες αυτές. Προαπαιτούμενο για την μελέτη του είναι η γνώση του περιεχόμενου ενός ή δύο εξαμηνιαίων μαθημάτων απειροστικού λογισμού. Τυχόν αναφορές σε έννοιες, προτάσεις, τρόπους απόδειξης κ.α. από την θεωρία μέτρου παρουσιάζονται εδώ αναλυτικά.
Στο πρώτο κεφάλαιο δίνεται αρχικά η έννοια του πειράματος τύχης και κατόπιν της πιθανότητας γεγονότος (με τρεις διαφορετικές προσεγγίσεις). Στην συνέχεια περιγράφονται τεχνικές απαρίθμησης των στοιχείων ενός συνόλου (Συνδυαστική), απαραίτητες στον υπολογισμό πιθανοτήτων. Ακολουθεί ο ορισμός της έννοιας της δεσμευμένης πιθανότητας γεγονότος και αποδεικνύονται σημαντικά θεωρήματα της Θ.Π. (όπως πολλαπλασιαστικό, ολικής πιθανότητας και Bayes). Τέλος εξετάζεται η έννοια της ανεξαρτησίας γεγονότων και υπολογίζεται η λεγόμενη αξιοπιστία συστημάτων.
Στο δεύτερο κεφάλαιο δίνεται η έννοια της τυχαίας μεταβλητής και ορίζονται ποσότητές της όπως η συνάρτηση κατανομής, η πυκνότητα πιθανότητας και η κατανομή της. Στην συνέχεια αναφέρονται οι κυριότερες διακριτές και συνεχείς κατανομές. Τέλος υπολογίζεται η κατανομή συναρτήσεων τ.μ. (θεώρημα μετασχηματισμού)
Τα κυριότερα αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας τ.μ. όπως οι παράμετροι θέσης, μεταβλητότητας, συμμετρίας και κυρτότητας περιγράφονται στο τρίτο κεφάλαιο. Αναφέρονται ακόμα τα είδη ροπών μιας τ.μ. και αποδεικνύονται οι κυριότερες ανισότητες σχετικές με ροπές τ.μ (Markov, Chebyshev, Jensen) απαραίτητες σε αρκετές περιπτώσεις για τον υπολογισμό φραγμάτων ζητούμενων πιθανοτήτων. Τέλος δίνεται ο γενικός ορισμός της μέσης τιμής για να γίνει κατανοητή η σύνδεση της Θεωρίας Πιθανοτήτων με την Θεωρία Μέτρου.
Το τέταρτο κεφάλαιο αναφέρεται στις πολυδιάστατες τ.μ., τις ροπές τους και τις δεσμευμένες κατανομές. Ορίζεται ο συντελεστής συσχέτισης δύο τ.μ., αποδεικνύονται οι ιδιότητες του και θεωρήματα όπως η ισότητα Bienayme και η ανισότητα Cauchy-Schwarz . Περιγράφεται η ευθεία παλινδρόμησης και η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων. Ορίζεται η χρήσιμη έννοια της δεσμευμένης μέσης τιμής και τέλος αναφέρονται μερικές πολυδιάστατες τ.μ.
Στο πρώτο μέρος του πέμπτου κεφαλαίου ορίζεται η ανεξαρτησία τ.μ., έννοια βασική και μια από αυτές που διαφοροποιεί την Θεωρία Πιθανοτήτων από την Θεωρία Μέτρου. Δίνονται ισοδύναμοι ορισμοί της, περιγράφεται η σχέση της ανεξαρτησίας με την μέση τιμή, την δεσμευμένη μέση τιμή, την συσχέτιση τ.μ. κ.α. και αποδεικνύονται οι δύο ταυτότητες του Wald. Στο δεύτερο μέρος δίνεται τρόπος υπολογισμού της κατανομής του αθροίσματος, διαφοράς, γινομένου και πηλίκου τ.μ. Τέλος, στο τρίτο μέρος υπολογίζεται η κατανομή συναρτήσεων τ.μ. (θεωρήματα μετασχηματισμού).
Στο έκτο κεφάλαιο δίνεται ο ορισμός της γεννήτριας συνάρτησης. Περιγράφονται τα τρία κυριότερα είδη γεννητριών συναρτήσεων τ.μ. (πιθανογεννήτρια, ροπογεννήτρια, χαρακτηριστική συνάρτηση τ.μ.). Υπολογίζονται οι γεννήτριες συναρτήσεις γνωστών κατανομών και τέλος αποδεικνύονται θεωρήματα που συνδέουν τις γεννήτριες συναρτήσεις με την κατανομή, τις ροπές τ.μ. καθώς και την ανεξαρτησία τ.μ.
Στο έβδομο κεφάλαιο περιγράφονται τα διάφορα είδη σύγκλισης τ.μ καθώς και οι τρόποι σύνδεσής τους. Αποδεικνύονται, οριακά θεωρήματα όπως, οι λεγόμενοι νόμοι των μεγάλων αριθμών και το Κεντρικό Οριακό θεώρημα, το σπουδαιότερο ίσως θεώρημα που συναντά κανείς στην θεωρία πιθανοτήτων. Τα Οριακά Θεωρήματα μας βοηθούν: (i) στο να προσεγγίσουμε ήδη γνωστές κατανομές με την κανονική κατανομή (Κ.Ο.Θ.), κάνοντας πολλές φορές υπολογισμούς αρκετά εύκολους, (ii) μελετούν την Οριακή συμπεριφορά κατανομών (αναγκαία στο να προσεγγίσουμε κατανομές από άλλες γνωστές κατανομές.) κ.α..
Στο όγδοο κεφάλαιο δίνονται αρχικά οι ορισμοί των βασικών εννοιών της Στατιστικής (πληθυσμός, δείγμα, μεταβλητή, δειγματοληψία, δεδομένα, κ.α.), αναφέρονται οι τρόποι παρουσίασης στατιστικών δεδομένων (στατιστικοί πίνακες, διαγράμματα). Στο δεύτερο μέρος παρουσιάζονται τα κυριότερα στατιστικά περιγραφικά μέτρα (κεντρικής τάσης, διασποράς, ασυμμετρίας, κύρτωσης), δηλαδή αριθμητικές ποσότητες που συνοψίζουν σε μεγάλο βαθμό τις πληροφορίες που περιέχονται στα δεδομένα (ενός δείγματος).
Το βιβλίο περιέχει αρκετά λυμένα παραδείγματα ή αντιπαραδείγματα και εφαρμογές, ένα σχεδόν για κάθε νέα έννοια που εισάγεται ή για κάθε θεώρημα ή πρόταση που αποδεικνύεται. Περιέχει ακόμα πάνω από 500 άλυτες ασκήσεις για περαιτέρω εξάσκηση του αναγνώστη.
Είναι αποτέλεσμα της μακρόχρονης διδασκαλίας, από τους συγγραφείς, αντίστοιχων μαθημάτων σε πανεπιστημιακά τμήματα τόσο της Ελλάδας αλλά και του εξωτερικού. Σκοπός του είναι να γίνει το αρχικό (αλλά συνάμα και αυστηρά Μαθηματικό) μέσο προετοιμασίας για μια παραπέρα πιο προχωρημένη μελέτη στην Θεωρία Πιθανοτήτων.

---

Περιεχόμενα

Κεφάλαιο 0: Θεωρία Συνόλων, Σ-άλγεβρες

0.1 Θεωρία Συνόλων

0.2 Σ-άλγεβρες

0.3 Ασκήσεις

Κεφάλαιο 1: Πιθανότητες

1.0 Εισαγωγή

1.1 Πείραμα τύχης

(Α) Κλασσικός ορισμός Πιθανότητας

(Β) Η σχετική συχνότητα σαν πιθανότητα

(Γ) Αξιωματικός ορισμός της Πιθανότητας (κατά Kolmogorov)

1.2 Συνδυαστική

(Α) Βασική Αρχή Απαρίθμησης

(Β) Διατάξεις - Συνδυασμοί

(Γ) Κατανομή σφαιριδίων σε κελιά

(Δ) Μοντέλα στην Στατιστική Μηχανική

(Ε) Πρόβλημα των γενεθλίων

1.3 Δεσμευμένη Πιθανότητα

(Α) Πολλαπλασιαστικό Θεώρημα

(Β) Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας

(Γ) Θεώρημα Bayes

(Δ) Υποκειμενική πιθανότητα

(Ε) Γεωμετρική Πιθανότητα

1.4 Ανεξαρτησία

(Α) Ανεξαρτησία δύο γεγονότων

(Β) Ανεξαρτησία τριών ή περισσότερων γεγονότων

(Γ) Αξιοπιστία συστήματος

1.5 Ασκήσεις

Κεφάλαιο 2: Τυχαίες μεταβλητές - Κατανομές τυχαίων μεταβλητών

2.1 Τυχαίες μεταβλητές

2.2 Διακριτές τ.μ

2.3 Συνήθεις διακριτές τ.μ.

(Α) Σταθερή τ.μ.

(Β) Δείκτρια τ.μ.

(Γ) Ομοιόμορφη διακριτή κατανομή

(Δ) Κατανομή Bernoulli

(Ε) Διωνυμική κατανομή

(ΣΤ) Κατανομή Poisson. Προσέγγιση της διωνυμικής κατανομής από την Poisson

(Ζ) Γεωμετρική κατανομή

(Η) Αρνητική διωνυμική κατανομή

(Θ) Υπεργεωμετρική κατανομή

2.4 Συνεχείς τ.μ.

2.5 Συνήθεις συνεχείς κατανομές

(Α) Ομοιόμορφη κατανομή

(Β) Κανονική κατανομή. Προσέγγιση της διωνυμικής κατανομής από την κανονική. Προσέγγιση της κατανομής Poisson από την κανονική

(Γ) Αρνητική εκθετική κατανομή

(Δ) Γάμμα κατανομή

(Ε) Βήτα κατανομή

(ΣΤ) Κατανομή Weibull

(Ζ) Κατανομή Maxwell

(Η) Κατανομή Rayleigh

(Θ) Λογαριθμική κανονική κατανομή

(Ι) Κατανομή του Cauchy

(K) Κατανομή του Laplace ή διπλή εκθετική

(Λ) Κατανομή Pareto

(Μ) t κατανομή ή κατανομή του student

(N) F Κατανομή

(Ξ) Τριγωνική κατανομή

2.6 Μετασχηματισμοί τ.μ

2.7 Ασκήσεις

Κεφάλαιο 3: Αριθμητικά χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών

3.1 Εισαγωγή

3.2 Μέση τιμή

3.3 Ροπές

3.3.1 Ροπές βασικών κατανομών

(Α) Διωνυμική κατανομή

(Β) Κατανομή Poisson

(Γ) Γεωμετρική κατανομή

(Δ) Ομοιόμορφη κατανομή

(Ε) Κανονική κατανομή

(ΣΤ) Αρνητική εκθετική κατανομή

(Ζ) Υπεργεωμετρική κατανομή

3.4 Ανισότητες

3.5 Διάμεσος

3.6 Επικρατούσα τιμή ή κορυφή

3.7 Ποσοστιαία σημεία

3.8 Συντελεστής λοξότητας

3.9 Συντελεστής Κύρτωσης

3.10 Γενικός ορισμός της μέσης τιμής

3.11 Ασκήσεις

Κεφάλαιο 4: Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές

4.1 Πολυδιάστατες τ.μ.

4.2 Διακριτές πολυδιάστατες τ.μ

4.3 Συνεχείς τ.μ.

4.4 Δεσμευμένες κατανομές

(Α) Διακριτές τ.μ.

(Β) Συνεχείς τ.μ.

4.5 Ροπές πολυδιάστατων τ.μ

4.6 Ευθεία παλινδρόμησης - Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων

4.7 Δεσμευμένη μέση τιμή

4.8 Καμπύλη παλινδρόμησης

4.9 Μερικές πολυδιάστατες κατανομές.

(Α) κ-διάστατη Πολυωνυμική κατανομή

(Β) κ-διάστατη Υπεργεωμετρική κατανομή

(Γ) 2-διάστατη Κανονική κατανομή

4.10 Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5: Στοχαστική Ανεξαρτησία τυχαίων μεταβλητών

5.1 Στοχαστική ανεξαρτησία τ.μ

5.2 Κατανομή αθροίσματος τ.μ

5.3 Διατεταγμένες στατιστικές συναρτήσεις

5.4 Κατανομή συναρτήσεων τυχαίων μεταβλητών

(Α) Αμεσος υπολογισμός

(Β) Θεώρημα μετασχηματισμού

5.5 Ασκήσεις

Κεφάλαιο 6: Γεννήτριες συναρτήσεις

6.0 Εισαγωγή

6.1 Πιθανογεννήτριες

(Α) Αναμενόμενο μέγεθος του πληθυσμού

(Β) Πιθανότητα εξάλειψης

6.2 Ροπογεννήτριες

6.3 Χαρακτηριστικές συναρτήσεις

6.4 Ασκήσεις

Κεφάλαιο 7: Σύγκλιση τυχαίων μεταβλητών. Οριακά Θεωρήματα

7.0 Εισαγωγή

7.1 Σχεδόν βέβαια σύγκλιση

7.2 Σύγκλιση με την έννοια της πιθανότητας

7.3 Σύγκλιση με την έννοια της κατανομής

7.4 Σύγκλιση με την έννοια του τετραγωνικού μέσου

7.5 Σχέσεις μεταξύ των διαφόρων ειδών συγκλίσεων

7.6 Νόμοι των Μεγάλων Αριθμών

7.7 Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

7.8 Ασκήσεις

Κεφάλαιο 8: Περιγραφική Στατιστική

8.1 Εισαγωγή

8.2 Μεταβλητές

8.3 Συλλογή στατιστικών στοιχείων

8.4 Στοιχεία δειγματοληψίας

8.5 Συλλογή στοιχείων δειγματοληψίας

8.6 Δειγματοληπτικές μέθοδοι

8.7 Παρουσίαση στατιστικών δεδομένων

(Α) Στατιστικοί πίνακες

(Β) Διαγράμματα

8.8 Στατιστικά περιγραφικά μέτρα

8.9 Μέτρα κεντρικής τάσης

(Α) Μέτρα τάσης

(Β) Μέτρα Θέσης

8.10 Μέτρα διασποράς

(Α) Εύρος

(Β) Ενδοτεταρτημοριακό εύρος

(Γ) Μέση απόλυτη απόκλιση

(Δ) Διασπορά-Τυπική απόκλιση

8.11 Μέτρα ασυμμετρίας

(A) Ο πρώτος συντελεστής ασυμμετρίας του Pearson

(B) Ο δεύτερος συντελεστής ασυμμετρίας του Pearson

(Γ) Ο δείκτης ασυμμετρίας του Yule

(Δ) Ο συντελεστής ασυμμετρίας του Pearson

(ε) Ο συντελεστής ασυμμετρίας του Fisher

8.12 Μέτρα κύρτωσης

(Α) Ο συντελεστής κύρτωσης του Pearson

(Β) Ο συντελεστής κύρτωσης του Fisher

(Γ) Ο συντελεστής κύρτωσης του Kelly

8.13 Ασκήσεις

Πίνακες

(Α) Διωνυμικοί πίνακες

(Β) Πίνακες Poisson

(Γ) Κανονική κατανομή

(Δ) χι-τετράγωνο κατανομή

(Ε) t κατανομή

(ΣΤ) Αριθμητικά χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών

(Ζ) Γεννήτριες συναρτήσεις κατανομών

Βιβλιογραφία
Ευρετήριο όρων