Απειροστικός λογισμός (ενιαίος τόμος)

Ο Απειροστικός Λογισμός του Thomas αποτελεί ένα από τα πιο καταξιωμένα διεθνώς συγγράμματα σε προπτυχιακό επίπεδο. Στην πλήρως αναθεωρημένη αυτή έκδοση, οι συγγραφείς παρουσιάζουν μια σύγχρονη εισαγωγή στον απειροστικό λογισμό, παραμένοντας ωστόσο πιστοί στην παραδοσιακή «συνταγή» της διεθνούς επιτυχίας του βιβλίου: μαθηματικά σωστά ζυγισμένα ανάμεσα στην αυστηρότητα και την ποιοτική κατανόηση των εννοιών, παρουσιασμένα με τρόπο που υποστηρίζει την ανάπτυξη της μαθηματικής ωριμότητας, χωρίς την ανάγκη απομνημόνευσης τύπων και επαναλαμβανόμενων διαδικασιών.

Η ύλη παρουσιάζεται μέσα από στοχευμένα παραδείγματα με λεπτομερείς επεξηγήσεις τα οποία συνοδεύονται από πολυάριθμες ασκήσεις διαβαθμισμένης δυσκολίας. Πολλές από τις ασκήσεις και τα προβλήματα απαιτούν τη χρήση υπολογιστή για τη διερεύνηση και επίλυσή τους. Κύριο χαρακτηριστικό του βιβλίου είναι τα εφαρμοσμένα προβλήματα, τα οποία συνεχώς αναθεωρούνται και εμπλουτίζονται κατά τις τελευταίες εκδόσεις, αντλώντας θέματα από τη φυσική και τις επιστήμες μηχανικών, από τη χημεία και τη βιολογία, από τις οικονομικές και κοινωνικές επιστήμες.

Στη νέα αυτή έκδοση περιλαμβάνεται ένα ξεχωριστό κεφάλαιο για τις διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης, το οποίο αποτελεί μέρος του ηλεκτρονικού συμπληρώματος του βιβλίου (www.cup.gr). Με τον πλούτο της ύλης και την ευελιξία που παρέχει η διάρθρωσή της, ο Απειροστικός Λογισμός μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε πληθώρα διαφορετικών πανεπιστημιακών μαθημάτων, από τα πιο θεωρητικά μέχρι τα πιο εφαρμοσμένα. Ο διδάσκων μπορεί να επιλέξει σε ποιον βαθμό θα ενσωματώσει τις προαιρετικές –αλλά ουσιαστικές– υπολογιστικές εφαρμογές στο μάθημα. Σε κάθε περίπτωση, ο αναγνώστης δεν μπορεί παρά να εκτιμήσει τον Λογισμό ως ένα αξιοθαύμαστο διανοητικό εργαλείο ερμηνείας, κατανόησης και διαχείρισης του κόσμου που μας περιβάλλει.




ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ


Πρόλογος

1 Συναρτήσεις
1.1 Συναρτήσεις και γραφικές παραστάσεις
1.2 Συνδυασμός συναρτήσεων, μετατόπιση και αλλαγή κλίμακας γραφήματος
1.3 Τριγωνομετρικές συναρτήσεις
1.4 Σχεδίαση γραφικών παραστάσεων με χρήση λογισμικού
Ερωτήσεις επανάληψης
Ασκήσεις
Επιπρόσθετες και προχωρημένες ασκήσεις

2 Όρια και συνέχεια
2.1 Ρυθμοί μεταβολής και εφαπτόμενες σε καμπύλες
2.2 Όριο συνάρτησης και ιδιότητες ορίων
2.3 Ακριβής ορισμός του ορίου
2.4 Πλευρικά όρια
2.5 Συνέχεια
2.6 Όρια στο άπειρο και άπειρα όρια· ασύμπτωτες γραφικών παραστάσεων
Ερωτήσεις επανάληψης
Ασκήσεις
Επιπρόσθετες και προχωρημένες ασκήσεις

3 Παράγωγοι
3.1 Εφαπτόμενες και παράγωγος σε σημείο
3.2 Η παράγωγος ως συνάρτηση
3.3 Κανόνες παραγώγισης
3.4 Η παράγωγος ως ρυθμός μεταβολής
3.5 Παράγωγοι τριγωνομετρικών συναρτήσεων
3.6 Κανόνας αλυσιδωτής παραγώγισης
3.7 Παραγώγιση πεπλεγμένων συναρτήσεων
3.8 Συναφείς ρυθμοί
3.9 Γραμμικοποίηση και διαφορικά
Ερωτήσεις επανάληψης
Ασκήσεις
Επιπρόσθετες και προχωρημένες ασκήσεις

4 Εφαρμογές των παραγώγων
4.1 Ακρότατα συναρτήσεων σε κλειστά διαστήματα
4.2 Θεώρημα μέσης τιμής
4.3 Μονότονες συναρτήσεις και το κριτήριο της πρώτης παραγώγου
4.4 Κοιλότητα και πρόχειρη σχεδίαση καμπυλών
4.5 Εφαρμοσμένη βελτιστοποίηση
4.6 Μέθοδος του Νεύτωνα
4.7 Αντιπαράγωγοι
Ερωτήσεις επανάληψης
Ασκήσεις
Επιπρόσθετες και προχωρημένες ασκήσεις

5 Ολοκληρώματα
5.1 Εμβαδόν και εκτίμηση ποσοτήτων με πεπερασμένα αθροίσματα
5.2 Συμβολισμός σίγμα και όρια πεπερασμένω αθροισμάτων
5.3 Το ορισμένο ολοκλήρωμα
5.4 Το θεμελιώδες θεώρημα του απειροστικού λογισμού
5.5 Αόριστα ολοκληρώματα και η μέθοδος της αντικατάστασης
5.6 Αντικαταστάσεις σε ορισμένα ολοκληρώματα και εμβαδόν μεταξύ καμπυλών
Ερωτήσεις επανάληψης
Ασκήσεις
Επιπρόσθετες και προχωρημένες ασκήσεις

6 Εφαρμογές των ορισμένων ολοκληρωμάτων
6.1 Όγκοι με χρήση διατομών
6.2 Όγκοι με χρήση κυλινδρικών φλοιών
6.3 Μήκος τόξου
6.4 Εμβαδά επιφανειών εκ περιστροφής
6.5 Έργο και δυνάμεις ρευστών
6.6 Ροπές και κέντρα μάζας
Ερωτήσεις επανάληψης
Ασκήσεις
Επιπρόσθετες και προχωρημένες ασκήσεις

7 Υπερβατικές συναρτήσεις
7.1 Αντίστροφες συναρτήσεις και παράγωγοί τους
7.2 Φυσικοί λογάριθμοι
7.3 Εκθετικές συναρτήσεις
7.4 Εκθετική μεταβολή και διαχωρίσιμες διαφορικές εξισώσεις
7.5 Απροσδιρόριστες μορφές και κανόνας l’Hopital
7.6 Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις
7.7 Υπερβολικές συναρτήσεις
7.8 Σχετικοί ρυθμοί αύξησης
Ερωτήσεις επανάληψης
Ασκήσεις
Επιπρόσθετες και προχωρημένες ασκήσεις

8 Τεχνικές ολοκλήρωσης
8.1 Χρήση των κύριων τύπων ολοκλήρωσης
8.2 Ολοκλήρωση κατά παράγοντες
8.3 Τριγωνομετρικά ολοκληρώματα
8.4 Τριγωνομετρικές αντικαταστάσεις
8.5 Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων με μερικά κλάσματα
8.6 Πίνακες ολοκληρωμάτων και συστήματα υπολογιστικής άλγεβρας
8.7 Αριθμητική ολοκλήρωση
8.8 Γενικευμένα ολοκληρώματα
8.9 Πιθανότητες
Ερωτήσεις επανάληψης
Ασκήσεις
Επιπρόσθετες και προχωρημένες ασκήσεις

9 Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης
9.1 Λύσεις, πεδία διευθύνσεων και μέθοδος του Euler
9.2 Γραμμικές εξισώσεις πρώτης τάξης
9.3 Εφαρμογές
9.4 Γραφικές λύσεις αυτόνομων εξισώσεων
9.5 Συστήματα εξισώσεων και επίπεδα φάσεων
Ερωτήσεις επανάληψης
Ασκήσεις
Επιπρόσθετες και προχωρημένες ασκήσεις

10 Άπειρες ακολουθίες και σειρές
10.1 Ακολουθίες
10.2 Άπειρες σειρές
10.3 Κριτήριο ολοκληρώματος
10.4 Κριτήρια σύγκρισης
10.5 Απόλυτη σύγκλιση· κριτήρια λόγου και ρίζας
10.6 Εναλλασσόμενες σειρές και σύγκλιση υπό συνθήκη
10.7 Δυναμοσειρές
10.8 Σειρές Taylor και Maclaurin
10.9 Σύγκλιση της σειράς Taylor
10.10 Εφαρμογές των σειρών Taylor
Ερωτήσεις επανάληψης
Ασκήσεις
Επιπρόσθετες και προχωρημένες ασκήσεις

11 Παραμετρικές εξισώσεις και πολικές συντεταγμένες
11.1 Παραμετρικοποιήσεις καμπυλών στο επίπεδο
11.2 Λογισμός με παραμετρικές καμπύλες
11.3 Πολικές συντεταγμένες
11.4 Γραφικές παραστάσεις εξισώσεων πολικών συντεταγμένων
11.5 Εμβαδά και μήκη σε πολικές συντεταγμένες
11.6 Κωνικές τομές
11.7 Κωνικές τομές σε πολικές συντεταγμένες
Ερωτήσεις επανάληψης
Ασκήσεις
Επιπρόσθετες και προχωρημένες ασκήσεις

12 Διανύσματα και γεωμετρία του χώρου
12.1 Τριδιάστατα συστήματα συντεταγμένων
12.2 Διανύσματα
12.3 Εσωτερικό γινόμενο
12.4 Εξωτερικό γινόμενο
12.5 Ευθείες και επίπεδα στον χώρο
12.6 Κύλινδροι και επιφάνειες δεύτερου βαθμού
Ερωτήσεις επανάληψης
Ασκήσεις
Επιπρόσθετες και προχωρημένες ασκήσεις

13 Διανυσματικές συναρτήσεις και κίνηση στον χώρο
13.1 Καμπύλες στον χώρο και εφαπτόμενές τους
13.2 Ολοκληρώματα διανυσματικών συναρτήσεων· πλάγια βολή
13.3 Μήκος τόξου στον χώρο
13.4 Καμπυλότητα και κάθετα διανύσματα καμπύλης
13.5 Εφαπτομενική και κάθετη συνιστώσα της επιτάχυνσης
13.6 Ταχύτητα και επιτάχυνση σε πολικές συντεταγμένες
Ερωτήσεις επανάληψης
Ασκήσεις
Επιπρόσθετες και προχωρημένες ασκήσεις

14 Μερικές παράγωγοι
14.1 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών
14.2 Όρια και συνέχεια σε περισσότερες από μία διαστάσεις
14.3 Μερικές παράγωγοι
14.4 Κανόνας αλυσιδωτής παραγώγισης
14.5 Παράγωγοι κατά κατεύθυνση και διανύσματα κλίσης
14.6 Εφαπτόμενα επίπεδα και διαφορικά
14.7 Ακρότατα και σαγματικά σημεία
14.8 Πολλαπλασιαστές Lagrange
14.9 Τύπος του Taylor για δύο μεταβλητές
14.10 Μερικές παράγωγοι συναρτήσεων με μεταβλητές υπό συνθήκη
Ερωτήσεις επανάληψης
Ασκήσεις
Επιπρόσθετες και προχωρημένες ασκήσεις

15 Πολλαπλά ολοκληρώματα
15.1 Διπλά ολοκληρώματα σε ορθογώνια χωρία
15.2 Διπλά ολοκληρώματα σε γενικά χωρία
15.3 Εμβαδόν με διπλή ολοκλήρωση
15.4 Διπλά ολοκληρώματα σε πολική μορφή
15.5 Τριπλά ολοκληρώματα σε καρτεσιανές συντεταγμένες
15.6 Εφαρμογές
15.7 Τριπλά ολοκληρώματα σε κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες
15.8 Αντικαταστάσεις σε πολλαπλά ολοκληρώματα
Ερωτήσεις επανάληψης
Ασκήσεις
Επιπρόσθετες και προχωρημένες ασκήσεις

16 Ολοκληρώματα και διανυσματικά πεδία
16.1 Επικαμπύλια ολοκληρώματα βαθμωτών συναρτήσεων
16.2 Διανυσματικά πεδία και επικαμπύλια ολοκληρώματα: έργο, κυκλοφορία και ροή
16.3 Ανεξαρτησία από τη διαδρομή, συντηρητικά πεδία, και συναρτήσεις δυναμικού
16.4 Θεώρημα του Green στο επίπεδο
16.5 Επιφάνειες και εμβαδόν
16.6 Επιφανειακά ολοκληρώματα
16.7 Θεώρημα του Stokes
16.8 Θεώρημα της απόκλισης και μια ενιαία θεώρηση
Ερωτήσεις επανάληψης
Ασκήσεις
Επιπρόσθετες και προχωρημένες ασκήσεις

17 Διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης (διαθέσιμο ηλεκτρονικά ΕΔΩ)
17.1 Γραμμικές εξισώσεις δεύτερης τάξης
17.2 Μη ομογενείς γραμμικές εξισώσεις
17.3 Εφαρμογές
17.4 Εξισώσεις Euler
17.5 Λύσεις δυναμοσειρών

Παραρτήματα
Π.1 Πραγματικοί αριθμοί και η ευθεία των πραγματικών αριθμών
Π.2 Μαθηματική επαγωγή
Π.3 Ευθείες, κύκλοι και παραβολές
Π.4 Αποδείξεις θεωρημάτων ορίων
Π.5 Συχνά εμφανιζόμενα όρια
Π.6 Θεωρία των πραγματικών αριθμών
Π.7 Μιγαδικοί αριθμοί
Π.8 Ο επιμεριστικός νόμος για εξωτερικά γινόμενα διανυσμάτων
Π.9 Το θεώρημα των μεικτών παραγώγων και το θεώρημα μεταβολών

Απαντήσεις στις περιττού αριθμού ασκήσεις
Ευρετήριο
Δικαιώματα χρήσης
Συνοπτικός πίνακας ολοκληρωμάτων