Εισαγωγή στις Διαφορικές Eξισώσεις Mερικών Παραγώγων Ι

Το τεύχος αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις Μερικών Παραγώγων και απευθύνεται, κυρίως, σε σπουδαστές Πολυτεχνικών και Φυσικομαθηματικών Σχολών, οι οποίοι έχουν παρακολουθήσει τα βασικά μαθήματα της Αναλύσεως και των Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων.

Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται σε τεχνικές επίλυσης των κλασικών μερικών διαφορικών εξισώσεων, γίνεται όμως σχολιασμός θεμάτων που αφορούν στην ύπαρξη, μοναδικότητα και ευστάθεια των λύσεων.

Στο κεφάλαιο 1 γίνεται η μαθηματική μοντελοποίηση φυσικών προβλημάτων, που οδηγεί στις γνωστές περιπτώσεις της Μαθηματικής Φυσικής.

Εκτενής μελέτη των γραμμικών και μη γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων 1ης τάξεως γίνεται στο κεφάλαιο 2.

Στο κεφάλαιο 3 γίνεται η ταξινόμηση των μερικών διαφορικών εξισώσεων 2ας τάξεως σε υπερβολικές, παραβολικές και ελλειπτικές και αναπτύσσεται η μεθοδολογία για την αναγωγή τους σε κανονική μορφή.

Στο κεφάλαιο 4 αναπτύσσεται η θεωρία των σειρών Fourier, που είναι ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο για τη μελέτη των μερικών διαφορικών εξισώσεων.

Στο κεφάλαιο 5 επιλύονται, με χωρισμό των μεταβλητών, μονοδιάστατα προβλήματα, όπως της παλλόμενης χορδής, της θερμικής αγωγιμότητάς και της εγκάρσιας ταλάντωσης δοκού.

Τα προβλήματα συνοριακών τιμών μελετώνται στο κεφάλαιο 6. Η θεωρία που αφορά στα προβλήματα αυτά είναι σημαντική για την επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων με χωρισμό των μεταβλητών καθώς επίσης στην επίλυση ολοκληρωτικών εξισώσεων. Παρουσιάζονται επίσης θεωρήματα που αφορούν στο ανάπτυγμα μιας συναρτήσεως σε σειρά ιδιοσυναρτήσεων.
Τέλος, στο κεφάλαιο 7 αναπτύσσεται η τεχνική επίλυσης δισδιάστατων προβλημάτων, όπως της ορθογώνιας παλλόμενης μεμβράνης, της εξισώσεως θερμότητας και της εξισώσεως Laplace σε ορθογώνιο και σε κύκλο.

Περιέχει:




Διαφορικές εξισώσεις μερικών παραγώγων

Μερικές διαφορικές εξισώσεις 1ης τάξεως

Ταξινόμηση διαφορικών εξισώσεων 2ας τάξεως

Σειρές Fourier

Μονοδιάστατα προβλήματα - Mέθοδος χωρισμού μεταβλητών

Προβλήματα συνοριακών τιμών

Δισδιάστατα προβλήματα