Μαθήματα Ολοκληρωτικού Λογισμού Πολλών Μεταβλητών

Το εγχειρίδιο αυτό είναι η τακτοποίηση των σημειώσεών μας για το μάθημα του «Ολοκληρωτικού Λογισμού ΙΙ» που διδάσκουμε στο Τμήμα Μαθηματικών του ΑΠΘ. Ο κορμός τους είναι κατ' ουσίαν οι "Πρόχειρες Σημειώσεις" του Μαριά. Στο διάστημα αυτό, έγινε μια πιο συστηματική επεξεργασία, και όπου χρειάστηκε, τροποποιήθηκαν, συμπληρώθηκαν και επεκτάθηκαν.
Δεν ήταν στις προθέσεις μας να γράψουμε μια "Πραγματεία", Traite που λένε οι Γάλλοι. Οι Πραγματείες είναι πιο χρήσιμες στους διδάσκοντες παρά στους διδασκόμενους. Ούτε ένα ογκώδες βοήθημα όπου ο αρχάριος είναι εύκολο να πελαγώσει και να χαθεί. Έτσι, καταλήξαμε στην συγγραφή ενός σύντομου και ισορροπημένου συνόλου με μορφή φιλική για τον αναγνώστη.
Τα "Μαθήματα" αντλούν υλικό από διάφορες πηγές. "Τα λόγια μας είναι παιδιά πολλών ανθρώπων", για να θυμηθούμε τον ποιητή. αναφέρουμε ενδεικτικά τα εγχειρίδια του Γ. Γεωργανόπουλου, Τ. Χατζηαφράτη, Marsden και Tromba, τον μικρό Spivak.
Το υλικό παρουσιάζεται με τρόπο ζωντανό, θυμίζοντας πολλές φορές την ατμόσφαιρα του αμφιθεάτρου, ώστε να προκαλέσει το ενδιαφέρον της πλειονότητας των φοιτητών. Η προσέγγιση του ουσιαστικού είναι άμεση και συνοδεύεται συνήθως από ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα, το μοντέλο, όπως λέμε στην ακαδημαϊκή καθομιλουμένη. Το περιττό, το φλύαρο και το κενό, που στην εποχή μας έχουν πάρει το πάνω χέρι, έγινε προσπάθεια να εξοβελιστούν.
Προσπαθήσαμε να κρατήσουμε την ισορροπία ανάμεσα στην Ανάλυση και τον Λογισμό. Ο φοιτητής πρέπει να καταλάβει τις έννοιες και τα θεωρήματα, αλλά και να μάθει να λογαριάζει. Η έλλειψη του ενός εκ των δύο οδηγεί σε επικίνδυνες ατραπούς. Έτσι, όλα τα βαρειά θεωρήματα δίνονται με πλήρεις αποδείξεις. Η επεξεργασία των αποδείξεων, ώστε να παρουσιαστούν όσο το δυνατόν πιο καθαρές και εύληπτες, ήταν και χρονοβόρα και κουραστική. Ελπίζουμε να τα καταφέραμε. Αλλά αυτό θα μας το πουν οι φοιτητές μας. Τα θεωρήματα και οι ορισμοί συνοδεύονται από πληθώρα επιλεγμένων παραδειγμάτων, ώστε να χωνευτεί και να εφαρμοστεί η θεωρία, και να μάθει ο φοιτητής να λογαριάζει.
Τέλος έγινε προσπάθεια να παρουσιαστούν οι εφαρμογές της Διανυσματικής Ανάλυσης στη Φυσική. Ας μην ξεχνάμε ότι η Φυσική είναι la raison d'etre της Δυανυσματικής Ανάλυσης.
Πολλοί βοήθησαν και ποικιλοτρόπως, για να γραφτεί αυτό το εγχειρίδιο. Οι οικογένειες και οι φίλοι με την ανοχή και την κατανόησή τους. Οι συνάδελφοι με τις εποικοδομητικές συζητήσεις, και οι φοιτητές μας με τις ερωτήσεις, τις απορίες και τις εκφράσεις του προσώπου τους, που λένε πολλά. Τέλος, θέλουμε να κάνουμε ιδιαίτερη μνεία για την βοήθεια που μας πρόσφερε ο φίλος και συνάδελφος Γιώργος Πέρρος. Το εγχειρίδιο αυτό του οφείλει πολλά. Πρώτον, γράφτηκε στο Ελληνικό LATEX με ένα πολύ φιλικό και εύχρηστο κειμενογράφο που είναι πατέντα του πολυμήχανου Γιώργου. Η πιθανότητα να γράφαμε το βιβλίο με το κλασικό σύστημα TEX είναι μηδενική. Δεύτερον, τα υπέροχα σχέδια που κοσμούν το κείμενο είναι δική του ευγενική προσφορά. Τον ευχαριστούμε θερμά. Επίσης ευχαριστούμε τον φίλο Παύλο Καϊμάκη που χτένισε τα Ελληνικά μας.
Περιέχει:


Ι. Το ολοκλήρωμα Riemann

Εισαγωγή (Μάθημα πρώτο)

Ορισμός του ολοκληρώματος
ΙΙ. Υπολογισμός Ολοκληρωμάτων

Επαναλαμβανόμενα Ολοκληρώματα

Αλλαγή μεταβλητών

Μη γνήσια ολοκληρώματα

Το Θεώρημα του Sard
ΙΙΙ. Διανυσματική Ανάλυση

Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα

Το επι-επιφάνειο ολοκλήρωμα