Η πλήρης τριτοβάθμια εξίσωση

Διερεύνηση και λύση της πλήρους τριτοβάθμιας εξίσωσης με πραγματικούς συντελεστές.

Ίσως ένα από τα πιο παραμελημένα θέματα των μαθηματικών.
Τα ερωτήματα που έθετα, από μαθητής λυκείου, στον εαυτό μου αναλογιζόμενος την δευτεροβάθμια εξίσωση ήταν

· υπάρχει για την πλήρη τριτοβάθμια εξίσωση «διακρίνουσα» και αν ναι, ποιά μπορεί να είναι;

· με δεδομένο ότι υπάρχουν τέσσερις δυνατές περιπτώσεις για το είδος των ριζών μιας τριτοβάθμιας εξίσωσης οι

1. τρεις άνισες πραγματικές ρίζες

2. μία απλή και μία διπλή πραγματικές ρίζες

3. μία τριπλή πραγματική ρίζα

4. μία απλή πραγματική και δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες

πώς θα μπορούσε με το πρόσημο μιας μόνο παράστασης να καλυφθούν και οι τέσσερις περιπτώσεις;

· Υπάρχουν τύποι που μας δίνουν τις ρίζες της εξίσωσης σε όλες τις περιπτώσεις;

Ερωτήματα που απασχολούσαν κάποτε ένα μελλοντικό μαθηματικό και τα οποία δεν πήραν τις απαντήσεις που ήθελε για αρκετά χρόνια.
Αργότερα σαν φοιτητής έμαθα πολλά για τις πολυωνυμικές εξισώσεις και τις λύσεις τους σε διάφορα μαθήματα.

Έμαθα ότι η πλήρης τριτοβάθμια εξίσωση λύνεται με κλειστό τύπο, αλλά μέχρι εκεί.

Ψάχνοντας τότε την βιβλιογραφία βρήκα αρκετά για την λύση της εξίσωσης αυτής, χωρίς όμως να με ικανοποιούν πλήρως με βάση τα ποιοτικά κριτήρια που έβαζα σαν «καθαρός» μαθηματικός. Έτσι εγκατέλειψα την προσπάθεια, γιατί άλλα πράγματα άρχισαν να έχουν μεγαλύτερη προτεραιότητα στην καριέρα μου.

Το πρόβλημα παρουσιάστηκε μπροστά μου πριν μερικά χρόνια όταν μελετώντας το μοντέλο SPRUCE-BUDWORM διαπίστωσα ότι

· χιλιάδες επιστήμονες σε όλο τον κόσμο ασχολούνται με το μοντέλο αυτό

· για την μελέτη του μοντέλου απαιτείται, εκτός των άλλων, να βρεθούν ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε μια δι-παραμετρική εξίσωση τρίτου βαθμού να έχει τρεις άνισες πραγματικές ρίζες.

· όλοι οι ερευνητές ασχολήθηκαν με ειδικές περιπτώσεις τριτοβάθμιων εξισώσεων και κανείς δεν είχε ασχοληθεί με την γενική περίπτωση της πλήρους τριτοβάθμιας εξίσωσης.

Οι διαπιστώσεις αυτές κίνησαν το μαθηματικό μου ενδιαφέρον και άρχισα να ξανά-ασχολούμαι με την πλήρη τριτοβάθμια εξίσωση.
Αυτό που τότε με ενδιέφερε ήταν να βρώ, «απλές» ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε η πλήρης τριτοβάθμια εξίσωση να έχει τρεις άνισες πραγματικές ρίζες. Επίσης έπρεπε, αυτό που θα έβρισκα, να κάλυπτε και όλες τις περιπτώσεις που είχαν μελετηθεί μέχρι τότε σαν ειδικές περιπτώσεις.

Πράγματι μετά από μια απλή σκέψη διατύπωσα μια σειρά προτάσεων, που αφορούσαν το είδος των ριζών της πλήρους τριτοβάθμιας εξίσωσης και τα οποία περιέχονται στην μονογραφία μου αυτή.

Όρισα δύο «διακρίνουσες» s1 και s2, οι οποίες είναι οι απλούστερες δυνατές, που μπορούν να οριστούν και με την βοήθεια των οποίων διερευνάται πλήρως η τριτοβάθμια εξίσωση. Επιπλέον όλη η δουλειά που έγινε μέχρι σήμερα από άλλους ερευνητές προκύπτει σαν ειδική περίπτωση από την δική μου.

Στην μονογραφία μου αυτή εκτός της πλήρους διερεύνησης της εξίσωσης τρίτου βαθμού, περιέχονται και οι τύποι εύρεσης των ριζών της ανεξάρτητα από το είδος των ριζών της εξίσωσης. Επίσης περιέχεται και η δουλειά που έγινε μέχρι σήμερα κατάλληλα απλοποιημένη, ώστε ο μελετητής να έχει συγκεντρωμένη την υπάρχουσα γνώση για το θέμα αυτό.

Το νέο στην έκδοση αυτή είναι ότι περιέχεται η πλήρης μελέτη του προσήμου των ριζών της τριτοβάθμιας εξίσωσης. Προχώρησα στη μελέτη αυτή γιατί θεώρησα ότι αφενός μεν η προσφορά μου στο θέμα αυτό θα είναι πλήρης και αφετέρου η γνώση του προσήμου των ριζών της τριτοβάθμιας εξίσωσης βοηθάει στην λύση και διερεύνηση της πλήρους τεταρτοβάθμιας εξίσωσης.»