Άλγεβρα

Η Άλγεβρα είναι ένας από τους βασικότερους και παλαιότερους κλάδους της Μαθηματικής Επιστήμης. Η σπουδαιότητά της δεν οφείλεται μόνο στη ποικιλία των μεθόδων και προβλημάτων της, αλλά και στις σημαντικές εφαρμογές της σε άλλους κλάδους της επιστήμης, όπως για παράδειγμα στη Κβαντική Μηχανική, Θεωρία Ελέγχου, Κρυπτογραφία και Θεωρία Κωδίκων.
Το παρόν σύγγραμμα περιέχει την ύλη της άλγεβρας η οποία διδάσκεται στο προπτυχιακό πρόγραμμα ενός Τμήματος Μαθηματικών, καθώς και θέματα τα οποία περιλαμβάνονται συνήθως σε μεταπτυχιακά μαθήματα. Επίσης, περιέχει πολλά παραδείγματα, καθώς και άλυτες ασκήσεις ποικίλης δυσκολίας.
Οι προαπαιτούμενες γνώσεις για την κατανόηση του περιεχομένου του περιορίζονται σ’ αυτές της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Σκοπός αυτού του συγγράμματος είναι ν’ αποτελέσει χρήσιμο βοήθημα για οποιονδήποτε επιθυμεί να μελετήσει τα θέματα που διαπραγματεύεται.
Το σύγγραμμα αυτό αποτελείται από 13 κεφάλαια.
Στο πρώτο δίνονται οι βασικές ιδιότητες των συνόλων, των σχέσεων, των απεικονίσεων, η αξιωματική θεμελίωση των φυσικών αριθμών και εισάγονται οι πιο απλές αλγεβρικές δομές της ημιομάδας και του μονοειδούς.
Το δεύτερο κεφάλαιο ασχολείται με τους ακέραιους αριθμούς. Παρουσιάζεται η αξιωματικής τους θεμελίωση και μελετώνται η Ευκλείδεια διαίρεση, ο μέγιστος κοινός διαιρέτης, το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο, οι πρώτοι αριθμοί και οι ιδιότητες της σχέσης ισοτιμίας.
Στο τρίτο κεφάλαιο δίνεται μία εισαγωγή στη θεωρία ομάδων. Παρουσιάζονται οι βασικές ιδιότητες των ομάδων, οι μορφισμοί τους, οι υποομάδες τους, τα θεωρήματα των Lagrange και Sylow, καθώς και οι επιλύσιμες ομάδες.
Στο τέταρτο κεφάλαιο περιγράφουμε την δομή των δακτυλίων, τα ιδεώδη τους, τους μορφισμούς τους και το σώμα κλασμάτων ενός πεδίου ακεραιότητας.
Ο δακτύλιος των πολυωνύμων είναι το θέμα του πέμπτου κεφαλαίου. Σ’ αυτό μελετώνται, η διαιρετότητα των πολυωνύμων, οι ρίζες τους και δίνεται μία απόδειξη του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας, καθώς και οι μέθοδοι επίλυσης των εξισώσεων τρίτου και τετάρτου βαθμού.
Στο έκτο κεφάλαιο μελετώνται ο δακτύλιος των πινάκων, οι ορίζουσες και η εφαρμογή τους στη επίλυση των συστημάτων γραμμικών εξισώσεων.
Το έβδομο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στη μελέτη των γραμμικών χώρων, των υποχώρων τους, στη γραμμική εξάρτηση των στοιχείων τους, καθώς και στις βάσεις τους.
Οι γραμμικές απεικονίσεις είναι το θέμα του ογδόου κεφαλαίου. Σ’ αυτό εξετάζουμε τις βασικές τους ιδιότητες, την παράστασή τους από πίνακα, τις ιδιοτιμές τους, την διαγωνιοποίησή τους, καθώς και την κανονική μορφή του Jordan.
Στο ένατο κεφάλαιο εισάγονται οι γραμμικοί χώροι με εσωτερικό γινόμενο και μελετώνται οι ορθοκανονικές βάσεις τους, οι ισομετρίες τους, οι προσαρτημένοι ενδομορφισμοί τους, οι κανονικοί ενδομορφισμοί και οι τετραγωνικές μορφές.
Το θέμα του δέκατου κεφαλαίου είναι οι αντιμεταθετικοί δακτύλιοι. Πιο συγκεκριμένα, εισάγονται οι Ευκλείδειοι δακτύλιοι, οι δακτύλιοι μονογενών ιδεωδών, οι δακτύλιοι μοναδικής παραγοντοποίησης οι δακτύλιοι της Noether, οι δακτύλιοι κλασμάτων και δίνονται βασικές τους ιδιότητες.
Το ενδέκατο κεφάλαιο ασχολείται με την μελέτη των προτύπων επί ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου των υποπροτύπων τους και των μορφισμών τους. Επίσης, παρουσιάζονται τα ελεύθερα πρότυπα, τα πρότυπα της Noether, τα τανυστικά γινόμενα και οι ακριβείς ακολουθίες.
Στο δωδέκατο κεφάλαιο μελετώνται τα ακέραια στοιχεία επί ενός δακτυλίου και στη συνέχεια οι αλγεβρικές και υπερβατικές επεκτάσεις σωμάτων. Παρουσιάζονται τα άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας και η σύνδεσή τους με τις επεκτάσεις σωμάτων. Δίνεται η κατασκευή του αλγεβρικού καλύμματος ενός σώματος, οι κανονικές επεκτάσεις, οι διαχωρίσιμες επεκτάσεις, καθώς και οι υπερβατικές.
Το τελευταίο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στις επεκτάσεις του Galois, στα πεπερασμένα σώματα και τις κυκλοτομικές επεκτάσεις. Τέλος, μελετάται το κλασσικό πρόβλημα της επιλυσιμότητας μίας αλγεβρικής εξίσωσης με ριζικά.

Περιεχόμενα

1 Σύνολα

Βασικές Έννοιες
Απεικονίσεις
Το Σύνολο των Φυσικών Αριθμών
Σχέσεις Διάταξης
Σχέσεις Ισοδυναμίας
Πράξεις
Ασκήσεις


2 Ακέραιοι Αριθμοί

Κατασκευή των Ακεραίων Αριθμών
Διαιρετότητα Ακεραίων
μκδ και εκπ
Ευκλείδειος Αλγόριθμος
Οι Πρώτοι Αριθμοί
Σχέσεις Ισοτιμίας
Γραμμικές Ισοτιμίες
Ασκήσεις


3 Ομάδες

Ορισμός - Παραδείγματα
Υποομάδες
Παραγωγή Ομάδων
Μονογενείς Ομάδες
Θεώρημα του Lagrange
Κανονικές Υποομάδες
Μορφισμοί Ομάδων
Θεωρήματα Ισομορφισμού
Υποομάδες του Sylow
Επιλύσιμες Ομάδες
Ασκήσεις


4 Δακτύλιοι

Βασικές Έννοιες
Ιδεώδη
Μορφισμοί Δακτυλίων
Σώμα Κλασμάτων
Πρώτα και Τοπικά Μέγιστα Ιδεώδη
Ασκήσεις


5 Πολυώνυμα

Ο Δακτύλιος των Πολυωνύμων
Διαιρετότητα Πολυωνύμων
Ανάγωγα Πολυώνυμα
Ρίζες Πολυωνύμου
Παράγωγος Πολυωνύμου
Μιγαδικά Πολυώνυμα
Ασκήσεις


6 Πίνακες

Ορισμοί - Βασικές Ιδιότητες
Κλιμακωτοί Πίνακες
Ορίζουσες
Βαθμίδα Πίνακα
Γραμμικά Συστήματα
Ασκήσεις


7 Γραμμικοί Χώροι

Ορισμός - Παραδείγματα
Γραμμικοί Υποχώροι
Αθροίσματα Υποχώρων
Παραγωγή Υποχώρων
Γραμμική Εξάρτηση Διανυσμάτων
Βάσεις
Ασκήσεις


8 Γραμμικές Απεικονίσεις

Ορισμός - Βασικές Ιδιότητες
Γραμμικές Απεικονίσεις στην Πεπερασμένη Διάσταση
Δυϊκός Χώρος
Πίνακας Γραμμικής Απεικόνισης
Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα
Διαγωνιοποίηση
Ελάχιστο Πολυώνυμο Ενδομορφισμού
Κανονική Μορφή του Jordan
Ασκήσεις


9 Χώροι με Εσωτερικό Γινόμενο

Εσωτερικό Γινόμενο
Ορθοκανονικές Βάσεις
Ισομετρίες
Προσαρτημένος ενός Ενδομορφισμού
Αυτοπροσαρτημένοι Ενδομορφισμοί
Τετραγωνικές Μορφές
Κανονικοί Ενδομορφισμοί
Ασκήσεις


10 Αντιμεταθετικοί Δακτύλιοι

Δακτύλιοι Μονογενών Ιδεωδών
Μοναδική Παραγοντοποίηση
Απαλοίφουσα Δύο Πολυωνύμων
Δακτύλιοι της Noether
Δακτύλιοι Κλασμάτων
Ασκήσεις


11 Πρότυπα

Ορισμός - Παραδείγματα
Μορφισμοί Προτύπων
Πρότυπα της Noether
Ελεύθερα Πρότυπα
Τανυστικό Γινόμενο
Ακριβείς Ακολουθίες
Πρότυπα Κλασμάτων
Άλγεβρες
Ασκήσεις


12 Επεκτάσεις Σωμάτων

Ακέραια Στοιχεία
Αλγεβρικές Επεκτάσεις
Κατασκευές με Κανόνα και Διαβήτη
Αλγεβρικό Κάλυμμα
Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο
Κανονικές Επεκτάσεις
Διαχωρίσιμες Επεκτάσεις
Απλές Υπερβατικές Επεκτάσεις
Υπερβατικές Βάσεις
Ασκήσεις


13 Θεωρία του Galois

Επεκτάσεις του Galois
Το Θεμελιώδες Θεώρημα
Πεπερασμένα Σωμάτα
Κυκλοτομικές Επεκτάσεις
Επίλυση Εξισώσεων με Ριζικά
Ασκήσεις


Βιβλιογραφία

Ευρετήριο Όρων