Εξισώσεις και Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού στα «Αριθμητικά» του Διόφαντου

Το βιβλίο αυτό επιχειρεί μια «κατάδυση στα βαθειά» ενός γοητευτικού και ταυτόχρονα αινιγματικού κόσμου: τη μαθηματική επιστήμη της ύστερης Ελληνικής αρχαιότητας όπως αυτή έχει διασωθεί σε μια συλλογή προβλημάτων με τίτλο Διοφάντου Αλεξανδρέως Αριθμητικά. Η εξοικείωση όμως με αυτό τον κόσμο επιβάλει να «καταδυθούμε» χωρίς τον εξοπλισμό που παρέχουν τα σύγχρονα Μαθηματικά, μη εξαιρουμένων των απλών εργαλείων που αναφέρονται στον τίτλο του βιβλίου: οι όροι «εξίσωση», «ανίσωση» και «βαθμός» έχουν αποκτήσει από την εποχή του μεσαιωνικού Ισλάμ και της Ευρωπαϊκής αναγέννησης συγκεκριμένες σημασίες, λειτουργίες και αναπαραστάσεις που δεν ήταν οικείες στους αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς.

Για να επιλύσει προβλήματα εύρεσης ρητών αριθμών με δεδομένες ιδιότητες, ο Διόφαντος, χρησιμοποιούσε μια έννοια «αγνώστου» σε εμβρυακή μορφή και ορισμένες συντομογραφίες για τις δυνάμεις του, με τη βοήθεια των οποίων και με τεχνάσματα εξαίρετης επινοητικότητας, δημιουργούσε «υποστάσεις» που είναι «ίσες», «μείζονες» ή «ελάσσονες» κάποιων άλλων για να προσδιορίσει από αυτές την τιμή του αγνώστου και εν συνεχεία τους ζητούμενους αριθμούς.

Ένα από τα πολλά αινίγματα που εγείρει η ανάγνωση των Αριθμητικών είναι ότι στην εισαγωγή τους ο Διόφαντος δίνει προς τους αναγνώστες μια σημαντική υπόσχεση την οποία όμως αφήνει ανεκπλήρωτη, τουλάχιστον στα τμήματα εκείνα του έργου που έχουν διασωθεί. Συγκεκριμένα, υπόσχεται ότι θα παρουσιάσει «ύστερον» τον τρόπο εύρεσης του αγνώστου από τις ισότητες που σήμερα ονομάζονται «τριώνυμες εξισώσεις δευτέρου ή ανωτέρου βαθμού», σε κανένα όμως από τα υπάρχοντα τμήματα του έργου δεν γίνεται αυτή η παρουσίαση, παρά το γεγονός ότι τα στοιχεία της αντίστοιχης θεωρίας θεωρούνται γνωστά και χρησιμοποιούνται «σιωπηλά» στην επίλυση αρκετών προβλημάτων.

Στην ιστορική βιβλιογραφία έχουν καταγραφεί πολλές απόπειρες αναζήτησης αλγεβρικών χαρακτηριστικών στο περιεχόμενο των Αριθμητικών ή άλλων έργων της αρχαιοελληνικής μαθηματικής παράδοσης. Αυτές οι απόπειρες όμως καταλήγουν συνήθως σε σύγχρονες μαθηματικές ανακατασκευές οι οποίες δεν συμβάλουν στην κατανόηση του ιστορικού πλαισίου μέσα στο οποίο τα έργα αυτά αναπτύχθηκαν. Το πρόβλημα που αντιμετωπίζει κάθε σύγχρονη αφήγηση για τα αρχαία Μαθηματικά είναι το εξής: Πώς θα μεταβιβάσει τον αυθεντικό τρόπο σκέψης του αρχαίου συγγραφέα σε έναν αναγνώστη που δεν έχει προ οφθαλμών (ή αδυνατεί να διαβάσει) το πρωτότυπο κείμενο; Ελπίζω ότι η «κατάδυσή» και αναζήτηση των εξισώσεων και ανισώσεων δευτέρου βαθμού στα Αριθμητικά του Διόφαντου, θα προσφέρει στους αναγνώστες αυτού του βιβλίου ένα αυθεντικό δείγμα του ιδιαίτερου τρόπου σκέψης που χαρακτηρίζει μια όψιμη αλλά ιδιαίτερα γόνιμη περίοδο της αρχαιοελληνικής μαθηματικής παράδοσης.





Περιεχόμενα



Εισαγωγή


Κεφάλαιο 1: Γνώριζαν οι αρχαίοι τις εξισώσεις 2ου βαθμού;

1. Αρχαίες μαθηματικές παραδόσεις και σύγχρονες ιστορικές ερμηνείες

2. Μελέτη ενός παραδείγματος

3. Πότε εμφανίστηκαν οι πρώτες εξισώσεις 2ου βαθμού;


Κεφάλαιο 2: Μια εισαγωγή στα Αριθμητικά του Διόφαντου

1. Ο Διόφαντος και το έργο του Αριθμητικά

2. Η έννοια της εξίσωσης και η ταξινόμηση των εξισώσεων στα Αριθμητικά

3. Μερικά παραδείγματα της μεθοδολογίας του Διόφαντου


Κεφάλαιο 3: Ελλιπείς ή προφανείς εξισώσεις 2ου βαθμού

1. Τα προβλήματα 27, 28 και 30 του Βιβλίου Ι των Αριθμητικών

2. Η επιλογή του αγνώστου καθορίζει το είδος της εξίσωσης

3. «Πλασματικοί» περιορισμοί και συνθήκες επίλυσης

4. Ειδικές λύσεις σε γενικά προβλήματα;

5. Το πρόβλημα 22 του Βιβλίου IV των Αριθμητικών

6. Η πρώτη εμφάνιση μιας πλήρους δευτεροβάθμιας εξίσωσης

7. Η απαλοιφή των επιταγμάτων ενός προβλήματος

8. «Τυχαία» επιλογή δεδομένων που οδηγεί σε αδιέξοδο

9. Η μέθοδος της «διπλής ισότητας»


Κεφάλαιο 4: Πλήρεις εξισώσεις 2ου βαθμού

1. Το πρόβλημα 31 του Βιβλίου IV των Αριθμητικών

2. Μια συνθήκη ύπαρξης ρητών λύσεων της δευτεροβάθμιας εξίσωσης

3. Το «σύνδρομο αποφυγής» της πλήρους δευτεροβάθμιας εξίσωσης

4. Περιορισμοί και απόρριψη αρχικών επιλογών

5. Ο Διόφαντος δεν λύνει μόνο εξισώσεις

6. Το πρόβλημα 6 του Βιβλίου VI των Αριθμητικών

7. Η σκοπιμότητα της «τυχαίας» επιλογής δεδομένων

8. Η συνθήκη ύπαρξης ρητών λύσεων

9. Το «συζυγές» πρόβλημα 7 του Βιβλίου VI των Αριθμητικών

10. Το πρόβλημα 8 του Βιβλίου VI των Αριθμητικών

11. Μια «αναβάθμιση» της συνθήκης ύπαρξης ρητών λύσεων

12. Το «συζυγές» πρόβλημα 9 του Βιβλίου VI των Αριθμητικών

13. Το πρόβλημα 10 του Βιβλίου VI των Αριθμητικών

14. Πυθαγόρειες τριάδες και αλγεβρικός λογισμός

15. Η διοφαντική εξίσωση x2 + y2 = z2 από την οπτική του Διόφαντου

16. Μια διοφαντική εξίσωση 4ου βαθμού

17. Το «συζυγές» πρόβλημα 11 του Βιβλίου VI των Αριθμητικών

18. Το πρόβλημα 22 του Βιβλίου VI των Αριθμητικών

19. Αναζητώντας τα «λοιπά δήλα» του Διόφαντου

20. Δευτεροβάθμιες εξισώσεις με δύο λύσεις

21. Η επίλυση του προβλήματος VI22 από μια σύγχρονη οπτική γωνία


Κεφάλαιο 5: Ανισώσεις 2ου βαθμού

1. Το πρόβλημα 39 του Βιβλίου IV των Αριθμητικών

2. Ένας αλγόριθμος για τη «συμπλήρωση του τετραγώνου»

3. Ένα αλγεβρικό «νοητικό πείραμα»

4. Το πρόβλημα 10 του Βιβλίου V των Αριθμητικών

5. Μια μεθοδολογία επίλυσης δευτεροβάθμιων ανισώσεων;

6. Ερμηνεύοντας ένα «λάθος» του Διόφαντου

7. Το πρόβλημα 30 του Βιβλίου V των Αριθμητικών

8. Μια εναλλακτική μέθοδος «επίλυσης» δευτεροβάθμιων ανισώσεων

9. Αριθμητική και «πραγματικά» προβλήματα


Κεφάλαιο 6: Εξισώσεις και ανισώσεις 2ου βαθμού στα Αριθμητικά: Μια ανασκόπηση


Παραρτήματα

1. Όλες οι πλήρεις εξισώσεις και ανισώσεις 2ου βαθμού που εμφανίζονται στα «Αριθμητικά»

2. Μια μετάφραση και δομική ανάλυση του προβλήματος IV39

3. Οι περιπτώσεις της «διπλής ισότητας» στο πρόβλημα VI22

4. Ένα ιστορικό πρόβλημα: Πότε έζησε ο Διόφαντος;


Βιβλιογραφία