Θεωρία ομάδων Τόμος Β΄

Αυτό το τεύχος πάει πιο πέρα από την κατανόηση του ρόλου των συμμετριών στα πλαίσια της Θεωρίας των Συνεχών Ομάδων, με την έννοια ότι επιχειρεί να εκμεταλλευτεί τέτοια μελέτη προς κατανόηση της συμπεριφοράς τόσο των κλασικών όσο και των κβαντικών φυσικών συστημάτων. Με την έννοια αυτή στα δύο πρώτα κεφάλαια ξεκινάει, αξιοποιώντας το υπόβαθρο υπάρχουσας συμμετρίας πέραν της περιστροφικής, με τη μελέτη απλών κλασσικών και κβαντικών συστημάτων και καταλήγει να βρει τη λύση κατά τρόπο απλό και προπαντός κομψό, χωρίς να απαιτηθεί η επίλυση διαφορικών εξισώσεων.

Για πιο σύνθετα προβλήματα είναι απαραίτητο να μελετηθούν στο αναγκαίο βάθος πιο σύνθετα μαθηματικά συστήματα, ως οι ομάδες Lie και οι αντίστοιχες άλγεβρες Lie. Ιδιαιτέρου ενδιαφέροντος είναι η μελέτη των αναπαραστάσεων των σχετικών τελεστών της άλγεβρας υπό μορφή πινάκων και μάλιστα των μη αναγωγήσιμων αναπαραστάσεων, οι οποίες μπορεί να ταυτιστούν με ενδιαφέρουσες φυσικές μεταβλητές.

Η διαδικασία αυτή οδηγεί στη μελέτη τόσο των κλασικών ομάδων και αλγεβρών Lie που σχετίζονται με μοναδιακούς, ειδικούς μοναδιακούς, ορθογώνιους και συμπλεκτικούς μετασχηματισμούς, όσο και των 5 ειδικών άλγεβρών G2, F4,E6,E7 και E8.Τούτο γίνεται στα πλαίσια της θεωρίας των Cartan-Weyl μέσω των ριζικών διανυσμάτων και των ριζικών διαγραμμάτων, ιδιαίτερα αυτών στην αναπαράσταση Dynkin.

Με τον τρόπο αυτό οι αναπαραστάσεις υποδηλώνονται από χαρακτηριστικά σύνολα ακεραίων που είναι γνωστά ως βάρη. ΄Ενα από τα βάρη είναι το αποκαλούμενο μέγιστο, το οποίο είναι μονοσήμαντα ορισμένο για κάθε αναπαράσταση της άλγεβρας.Ολα τα βάρη μπορούν να προκύψουν από αυτό με τη δράση καταλλήλων χαμηλωτικών τελεστών της άλγεβρας καθώς και οι αντίστοιχες καταστάσεις που χαρακτηρίζουν δοθείσα συμμετρία. Εναλλακτικά οι μη αναγωγήσιμες αναπαραστάσεις μπορούν να περιγραφούν και από τα διαγράμματα (tableaux) Young που σχετίζονται με τη διακριτή συμμετρία Sn. Τα διαγράμματα αυτά παρέχουν εύχρηστους τύπους αναγωγής

γινομένου Kronecker μη αναγωγήσιμων αναπαραστάσεων δοθείσης ημιαπλής άλγεβρας. Δίνεται η συσχέτιση μεταξύ των διαγραμμάτων (tableaux) Young και της βάσης Dynkin. Με το τρόπο αυτό καθίσταται απλός ο υπολογισμός των συντελεστών Clebsch-Gordan στην αναγωγή του γινομένου kronecker και δίνονται χρήσιμοι πίνακες. Πολλές φορές για εναργέστερη κατανόηση του αντικειμένου είναι απαραίτητο να θεωρηθούν και οι δυνατές υποσύμμετρίες της μεγίστης συμμετρίας, δηλαδή υποάλγρβρες της άλγεβρας. Ιδιαίτερη σημασία έχουν οι μέγιστες υποάλγεβρες, οι οποίες μελετώνται σε απλές περιπτώσεις και καταχωρούνται σε πίνακες.